<T->
          Vontade de Saber
          Matemtica 6 Ano

          Joamir Souza
          Patricia Moreno Pataro

          Impresso Braille em 
          9 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 1 edio da Editora 
          FTD S.A.

          Quinta Parte  
   
          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444 
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,          
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2011 --

<P>
          Vontade de Saber Matemtica
          Copyright (C) Joamir Roberto de Souza e Patricia Rosana
          Moreno Pataro, 2009  
        
          Gerente editorial:
          Silmara Sapiense Vespasiano
          Editora:
          Rosa Maria Mangueira
          Editora assistente:
          Alessandra Abramo
 
          Todos os direitos reservados  EDITORA FTD S.A.
          Matriz: Rua Rui Barbosa, 
          156 -- Bela Vista -- 
          So Paulo -- SP 
          CEP 01326-010 -- 
          Tel. (11) 3598-6000
          Caixa Postal 65149 -- CEP da Caixa Postal 01390-970
          Internet: ~,http:www.ftd.com.br~,
          E-mail: ~,coord.editorial@ftd.~
          com.br~,
<p>
                                I
<R+>
<F->
Sumrio 

Quinta Parte

Captulo 7

ngulos e retas ::::::::::: 513
As ideias de ngulo ::::::: 514
Medindo ngulos ::::::::::: 524
Retas e segmentos de 
  reta ::::::::::::::::::::: 534
Retas paralelas e retas 
  concorrentes ::::::::::::: 536
Refletindo sobre o 
  captulo ::::::::::::::::: 547
Reviso ::::::::::::::::::: 550
Testes :::::::::::::::::::: 553

Captulo 8

Polgonos e formas 
  circulares ::::::::::::::: 557
Polgonos ::::::::::::::::: 558
Tringulos :::::::::::::::: 570
Quadrilteros ::::::::::::: 580
Formas circulares ::::::::: 592
<p>
Refletindo sobre o 
  captulo ::::::::::::::::: 599
Explorando o tema: Como se 
  costura o ltimo gomo de 
  uma bola de futebol? ::::: 602
Reviso ::::::::::::::::::: 607
Testes :::::::::::::::::::: 615
<F+>
<R->

<141>
<tv. saber mat. 6>
<T+513>
Captulo 7 -- ngulos e retas

<R+>
_`[{o contedo deste captulo bem como as atividades propostas so predominantemente iguais.
Para melhor aproveitamento, pea orientao ao professor_`]

_`[{quatro imagens adaptadas_`]
 I -- placa de trnsito com uma seta indicando para a esquerda.
 II -- ferramenta "nvel de bolha".
 III -- uma foto s 8:00, mostrando o tamanho da sombra de um poste em uma rua e outra foto s 11:00, mostrando que o tamanho da sombra do poste na rua  menor.
 IV -- uma pista de atletismo com oito linhas no cho separando os sete atletas.
<p>
Conversando sobre o assunto 
 a) O que representa a placa de trnsito da imagem I? 
 b) Na imagemm II,  apresentado um operrio utilizando uma ferramenta chamada "nvel 
de bolha". Converse com seus colegas sobre a finalidade dessa ferramenta. 
 c) Na imagem III, podemos observar que o tamanho e a posio da sombra do poste 
varia de acordo com a inclinao do Sol. Em sua opinio, por que isso ocorre? 
 d) As oito linhas que aparecem lado a lado na pista de atletismo da imagem IV se 
cruzam em algum momento? Por qu? 
<R->

<142> 
As ideias de ngulo 

  No jogo de xadrez existem vrias peas. 
Veja o nome de algumas delas. 

<R+>
_`[{peas: cavalo, peo, bispo, rei, torre_`]
<p>
O xadrez: O xadrez  um 
jogo de tabuleiro 
que exige dos 
competidores 
estratgia e 
raciocnio lgico. 
Esse jogo  um dos 
mais populares 
do mundo e  
praticado por 
milhes de 
pessoas, em 
clubes, escolas, 
pela internet, entre 
outros locais. 

_`[{foto seguida por legenda_`]
 Legenda: Enxadrista gacho 
  Giovanni Vescovi, 
campeo brasileiro 
de xadrez em 
2007. 
<R->

  Essas peas foram posicionadas em um 
tabuleiro de xadrez como mostra a figura a seguir. 
<p>
<R+>
_`[{figura adaptada_`]
 Legenda:
 c -- cavalo
 p -- peo
 b -- bispo
 r -- rei
 t -- torre
<R->

<F->
    !:::
    l t _
!:::r:::w:::
l p l c _ b _   
h:::r:::w:::j
    l r _
    h:::j
<F+>

  Agora, verificamos em qual posio o cavalo ficar aps gir-lo: 
<R+>
  uma volta completa para a direita 
<R->
  Note que, aps o giro de uma volta, o cavalo ficou na posio inicial, 
ou seja, de frente para o peo. 
<R+>
  meia-volta para a esquerda
<R->
<p>
  Neste caso, aps o giro de meia-volta, o cavalo ficou de frente para o bispo. 
<R+>
  a partir da posio que est, um quarto de volta para a direita 
<R->
  Note que, aps o giro de um quarto de volta, o cavalo ficou de frente para o 
rei. Neste caso, da posio que estava anteriormente, tambm poderamos 
girar o cavalo trs quartos de volta para a esquerda que a posio final 
seria a mesma. 
  Esses giros _`[no adaptados_`] podem ser representados da seguinte maneira. 

<R+>
 uma volta completa, meia-volta, um quarto de volta, trs quartos de volta 
<R->

<143> 
  O giro em torno de um ponto fixo d a ideia de ngulo. Alm do giro, veja 
outras situaes que nos do a ideia de ngulo. 
<p>
<R+>
_`[{figuras adaptadas_`]
 mesa de tnis de mesa, uma escada aberta, telhados de uma casa
<R->

<R+>
Podemos representar um ngulo da seguinte maneira:
 Indicamos esse ngulo por :{o ou :?{a{o{b*. 

ngulos 
na aviao: Entre as diversas 
aplicaes de 
ngulos, podemos 
destacar a sua 
utilizao na 
aviao. Ao 
planejar uma rota 
area, por exemplo, 
o conhecimento 
acerca de ngulos 
 de fundamental 
importncia. 
<R->

Atividades

Anote as respostas 
no caderno. 

<R+>
1. No ptio de manobras de um aeroporto, 
um avio estava de frente para a direo 
norte, como mostra a imagem a seguir. 
<p>
_`[{imagem adaptada_`]
 Legenda: 
 Av -- Avio
 N -- Norte
 L -- Leste
 O -- Oeste
 S -- Sul

<F->
     _   l
     _N l
     _   l
:::::j   h:::::
  O  Av  L 
:::::   !:::::
     _   l
     _S l
     _   l
<F+>

Escreva para qual direo o avio ficar 
de frente se ele realizar um giro de: 
 a) um quarto de volta para a direita 
 b) meia-volta para a esquerda 
 c) trs quartos de volta para a direita 
<p>
 d) trs voltas para a direita 
 e) trs voltas para a esquerda 
 f) um quarto de volta para a esquerda 

2. Para abrir o cofre apresentado a seguir  
necessrio realizar a seguinte sequncia 
de giros na roleta: 
 1) trs quartos de volta no sentido horrio 
 2) meia-volta no sentido anti-horrio 
 3) um quarto de volta no sentido horrio 
 4) uma volta e meia no sentido anti-horrio 
<R->

<F->
   A
   _l
D o B
   C
<F+>

<R+>
_`[{a seta est indicando a letra A_`]
<p>
O sentido 
horrio  o 
mesmo dos 
ponteiros do 
relgio, o 
anti-horrio, 
oposto ao 
dos ponteiros 
do relgio. 
 
Aps realizar a sequncia de giros, para 
que letra a seta estar apontando na roleta 
do cofre? 
<R->

<144> 
<R+>
_`[{para as atividades 3 a 5, pea orientao ao professor_`]

3. Contexto 
 Na Califrnia, alguns surfistas, que procuravam 
um meio para se divertir nos 
dias sem onda, pregaram seus patins 
num pedao de madeira. Surgiu assim o 
  *skate*. Os primeiros eram muito limitados, 
sendo formados apenas por uma 
tbua plana com quatro rodinhas. Em 
1965 foram comercializados os primeiros 
skates fabricados industrialmente e, 
seis anos mais tarde, o esporte teve seu 
grande impulso, com a utilizao da roda 
de uretano, que era silenciosa e permitia 
maior aderncia. 
 Sandro Dias, tambm conhecido como 
Mineirinho,  um dos principais esqueitistas 
brasileiros. Mineirinho  famoso 
por uma manobra que 
realiza no ar um giro 
de duas voltas e meia. 
 Associe a manobra _`[no adaptada_`] ao giro realizado em cada 
uma delas. Para isso, escreva a letra e 
o smbolo romano correspondentes. 
 I) giro de uma volta 
 II) giro de uma volta e meia 
 III) giro de meia-volta 
 IV) giro de duas voltas 

4. Observe a sequncia de figuras _`[no adaptadas_`]. 
 Qual das figuras a seguir corresponde  
prxima da sequncia? 
<p>
5. No jogo de computador _`[no adaptado_`] 
o carrinho deve sair do ponto inicial e 
chegar ao final, desviando dos obstculos, 
a partir dos comandos de orientao 
dados pelo jogador. 

Orientaes 

 -- avanar 2 quadradinhos para a frente; 
 -- girar um quarto de volta para a direita e 
avanar 1 quadradinho; 
 -- girar um quarto de volta para a esquerda e 
avanar 2 quadradinhos; 
 -- girar um quarto de volta para a direita e 
avanar 1 quadradinho; 
 -- girar um quarto de volta para a esquerda e 
avanar 2 quadradinhos; 
 -- girar um quarto de volta para a esquerda e 
avanar 1 quadradinho; 
<p>
 -- girar um quarto de volta para a direita e 
avanar 1 quadradinho; 

De maneira semelhante, escreva as orientaes 
seguidas pelo carrinho nos itens a seguir. 
<R->

<145> 
Medindo ngulos 

O surgimento do grau 

  A diviso do crculo em 360 partes iguais 
 atribuda aos babilnios, civilizao que viveu 
por volta de 1700 a.C. na 
 Mesopotmia, 
onde atualmente  o Iraque. Baseados em um 
sistema de numerao cujos agrupamentos 
eram feitos de 60 em 60 e no fato de que eles 
acreditavam que a Terra demorava 360 dias 
para dar uma volta completa em torno do Sol, 
surgiu a medida que atualmente conhecemos 
por grau. 
  Uma das unidades utilizadas para medir 
ngulos  o grau. Para obter a medida de 
um grau, podemos imaginar um crculo 
dividido em 360 partes iguais. Um 
grau corresponde a cada uma dessas 
partes e indicamos por 1. 
  Se considerarmos uma volta completa, 
temos um ngulo de 360. 
  Podemos medir um ngulo utilizando 
um instrumento de medida chamado 
transferidor. 

<R+>
_`[{figuras no adaptadas_`]
 Transferidor de 360 e transferidor de 180. 

Note que nos 
transferidores h 
duas graduaes, 
uma no sentido 
horrio e outra 
no sentido 
anti-horrio. 
<R->

  Utilizando um transferidor, vamos medir o ngulo a seguir. Para isso, posicionamos 
o centro do transferidor no vrtice do ngulo. A linha marcada com o 
zero, ou 
<p>
 seja, a linha de f, deve coincidir com um dos lados do ngulo. 

<F->
      
    
   
  
 
------------
<F+>

  A medida do ngulo  lida no transferidor, nesse caso, 60. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<146> 
  Agora, observe a medida de alguns ngulos. 
<p>
Quadro A 

<F->
_
_
_
_
_
_---------
O

Quadro B

::::::::r:::::::
       O
<F+>

  No quadro A est representado um ngulo de 90, que corresponde a um 
giro de um quarto de volta. Esse ngulo  chamado ngulo reto e indicamos 
pelo smbolo entre parnteses em Braille `(_-`). 
  J no quadro B est representado um ngulo de 180, que corresponde a 
um giro de meia-volta. Esse ngulo  chamado ngulo raso. 

<R+>
Torre 
de Pisa: Um dos 
monumentos 
mais conhecidos 
da Itlia  a Torre 
de Pisa. Devido  
sua massa e  sua 
construo em 
solo inadequado, 
essa torre sofreu, 
com o passar 
dos anos, uma 
inclinao que 
atualmente  
de cerca de 4. 
Para evitar que 
essa inclinao 
continue a 
aumentar, 
diversas aes 
vm sendo 
tomadas, como, 
por exemplo, a 
instalao de 
contrapesos. 
<R->

Construindo ngulos com o 
  transferidor

  Utilizando um transferidor, podemos construir ngulos. Veja, por exemplo, 
como construir um ngulo de 47 utilizando rgua e transferidor. 
  Traamos uma linha, que ser um dos lados do ngulo, e marcamos o vrtice O.
  Posicionamos o centro do transferidor no vrtice O e alinhamos o lado do 
ngulo com a linha de f. Em seguida, marcamos 47. 
  Por ltimo, traamos o outro lado do ngulo. 
 
<147> 
ngulo agudo e ngulo obtuso 

  Veja os ngulos nos quadros a seguir. 

 Quadro A:
<F->
     
      
    
   
  
 
-----------

A medida deste ngulo  menor que 
  90. 
<p>
 Quadro B:


 
  
   
    
     -------------

A medida deste ngulo  maior que 
  90 e menor que 180.
<F+>
 
  No quadro A est representado um ngulo cuja medida  menor que 90. 
Esse tipo de ngulo  chamado ngulo agudo. 
  J no quadro B, est representado um ngulo maior que 90 e menor que 
180. Esse tipo de ngulo  chamado ngulo obtuso. 

_`[{a menina diz_`]
  "Em cada quadro, o 
lado em vermelho 
e a linha tracejada 
_`[no adaptados_`]
formam um ngulo 
reto, ou seja, um 
ngulo de 90}."
<p>
Atividades 

Anote as respostas 
no caderno. 

<R+>
_`[{para as atividades 6, 8, 9, 12, 13 e 14 pea orientao ao professor_`]

6. Escreva a medida de cada ngulo _`[no adaptado_`]. 

7. Determine a medida, em graus, de cada 
ngulo indicado a seguir. 
 a) um quarto de volta 
 b) uma volta
 c) trs quartos de volta
 d) meia-volta

8. Utilizando um transferidor, mea cada ngulo 
indicado na figura _`[no adaptada_`] e escreva em seu 
caderno a medida de cada um deles. 
<R->

<148> 
<R+>
9. Nos itens _`[no adaptados_`] esto indicados alguns 
ngulos. Estime a medida de cada ngulo 
e classifique-o em reto, raso, agudo 
ou obtuso. 
 Agora, utilizando um transferidor, mea 
os ngulos indicados e compare com as 
medidas que voc estimou. 

10. Escreva a medida em graus dos ngulos 
indicados entre os ponteiros dos relgios. 

_`[{relgios adaptados_`]
 a) ponteiro pequeno no 3 e ponteiro grande no 12
 b) ponteiro pequeno no 9 e ponteiro grande no 12
 c) ponteiro pequeno no 6 e ponteiro grande no 12
 d) ponteiro pequeno no 4 e ponteiro grande no 12

11. Copie as afirmaes substituindo cada '''
pela palavra reto, raso, agudo ou obtuso. 
 a) Dizemos que um ngulo  ''' quando 
sua medida  igual a 180. 
<p>
 b) Um giro de um tero de volta equivale 
a um ngulo ''' 
 c) Um ngulo  ''' quando sua medida  
menor que 90. 

12. Utilizando rgua e transferidor, 
construa um ngulo de: 
 a) 63 
 b) 160
 c) 109
 d) 148 

13. Na imagem a seguir, os ngulos :?{a{o{b*, :?{b{o{c* 
e :?{c{o{d* so retos. 

Faa uma estimativa e associe cada ngulo 
indicado a seguir  sua medida. 

<F->
!:::::::::::::::::::::::::  
l :?{a{o{d* _ :?{b{o{f*  _
r::::::::::::w:::::::::::::w
l :?{c{o{f* _ :?{e{o{d*  _
h::::::::::::j:::::::::::::j
<p>
!::::::::::::::
l 40  _ 130 _
r:::::::w:::::::w
l 200 _ 270} _
h:::::::j:::::::j
<F+>

14. Alm do transferidor, outro instrumento 
que pode ser utilizado para medir ou 
construir ngulos  o esquadro. 
 Observe dois modelos de esquadro. 

_`[{esquadros no adaptados_`]
 Esquadro de 60
 Esquadro de 45

Escreva a medida dos ngulos indicados 
em cada item. Depois, classifique-os em 
reto, raso, agudo ou obtuso. 
<R->

<149> 
Retas e segmentos de reta 

  Veja nas fotografias algumas situaes que lembram retas. 
<p>
<R+>
_`[{trs fotos adaptadas_`]
 1 -- Uma piscina com as raias e duas atletas.
 2 -- As cordas de um violo.
 3 -- Uma pista de atletismo com as raias e dois atletas.
<R->

  Nas fotografias, as linhas em destaque lembram retas. Em Matemtica, a 
reta  uma linha que no tem comeo nem fim, ou seja, no tem extremidades. 
Para indicar uma reta, utilizamos letras minsculas. Veja como podemos 
representar as retas *r*, *s* e *t*. 

<F->  
         t
              
-------------- r
       
-------------- s
    
<F+>

  Uma parte ou um pedao de uma reta  chamado segmento de reta. Essa 
parte da reta est compreendida entre dois de seus pontos, chamados extremos. 
Assim, dizemos que um segmento de reta tem comeo e fim e, sendo 
assim, pode ser medido. Para indicar um segmento de reta utilizamos letras 
maisculas. Veja a representao do segmento de reta {c{d.

C------------D

  Indicamos o segmento de reta {c{d por ^c?{c{d*. 

_`[{o menino diz_`]
  "A palavra segmento vem 
do latim *segmentum*, que 
significa corte."

Retas paralelas e retas 
  concorrentes 

  Atualmente, alguns carros vm equipados com um aparelho chamado navegador 
GPS, sigla que em portugus quer dizer Sistema de Posicionamento 
Global. Utilizado com vrias finalidades, esse aparelho auxilia na orientao 
de pilotos de avio, na localizao de determinados lugares etc. 

<R+>
Sistema de 
Posicionamento 
Global: O GPS foi criado 
pelo Departamento 
de Defesa dos 
Estados Unidos 
no fim da dcada 
de 1970. Ele  
baseado em 
24 satlites militares 
americanos 
que fornecem 
coordenadas 
de localizao 
geogrfica com 
margem de erro 
entre 5 m e 20 m.
<R->

  Veja a seguir um navegador GPS instalado em um carro _`[no adaptado_`].
<p>
  Representando as ruas que aparecem no navegador GPS com retas, temos: 

<F->  
a   b           u  
             
                   
------------------- r
            
------------------- s
          
------------------- t
           
            
            
<F+>

  Nessa representao, podemos notar que as 
retas *r* e *s* no se cruzam, mantendo sempre a 
mesma distncia uma da outra, e que as retas *r* 
e *u* se cruzam em um nico ponto. Nesse caso, 
dizemos que as retas *r* e *s* so paralelas 
e que as retas *r* e *u* so concorrentes.  

<150>
<R+>
Duas retas so paralelas quando elas nunca se cruzam, ou seja, permanecem 
 mesma distncia uma da outra. O ngulo de inclinao de duas ou mais retas 
paralelas em relao  outra  sempre igual. 
     
<F->
      a   b      
        
       
------------- r
     
    
<F+>

Note que os ngulos de inclinao das retas *a* e 
*b* em relao  reta *r* so iguais. Indicamos as 
retas paralelas *a* e *b* por a_lb. 

Duas retas so concorrentes quando elas se cruzam em um nico ponto. 

<F->
    ^~   ~^ r
       {~{
    ~^   ^~ s
<F+>

Neste caso, as retas *r* 
e *s* so concorrentes. 
 Se duas retas so concorrentes e:
formam um ngulo de 90 
entre si, ento elas so 
perpendiculares. 

<F->
b
_
_
_
_
_--------- a
<F+>

Indicamos as retas perpendiculares *a* e *b* por a#.b.

No forem perpendiculares 
entre si, ento 
elas so oblquas. 

<F->
^~           ~^ a
    ^~   ~^
       {~{
    ~^   ^~
~^           ^~ b
<F+>
<p>
Traando retas paralelas e retas 
  perpendiculares 
<R->

  Utilizando um jogo de esquadros, 
podemos traar retas paralelas e retas 
perpendiculares. 

<R+>
_`[{para as informaes a seguir, pea orientao ao professor_`]
<R->

Traando retas paralelas 

  Traamos uma reta *r* qualquer. Em seguida, posicionamos o esquadro de 
45 na posio _`[no adaptada_`]. 
  Posicionamos o esquadro de 60 como mostra a figura _`[no adaptada_`]. Ele servir de apoio 
para o esquadro de 45. 
  Deslizamos o esquadro de 45 sobre o de 60 e traamos uma reta *s*, que 
ser paralela  reta *r*. 

<151> 
<p>
Traando retas perpendiculares 

  Traamos uma reta *r* qualquer. 
Em seguida, posicionamos o 
esquadro de 45 no local _`[no adaptado_`]. 
  Posicionamos o esquadro de 
60 como mostra a figura _`[no adaptada_`]. Em 
seguida, giramos o esquadro 
de 45. 
  Deslizamos o esquadro de 45 sobre o de 60 e traamos uma reta *s*, que 
ser perpendicular  reta *r*. 

Atividades 

Anote as respostas 
no caderno. 

<R+>
_`[{para as atividades 15, 18, 19 a 22, pea orientao ao professor_`]

15. Observe os pontos e as retas _`[no representados_`]. 
 a) Quais pontos pertencem  reta: 
 r? 
<p>
 s? 
 t? 
 b) Qual ponto pertence s retas *r* e *t* ao mesmo tempo? 
 c) Em qual reta est contido o segmento de reta {a{e? E o segmento 
de reta {c{d? 
 d) Em que ponto se cruzam as retas *s* e *t*? 

16. Na reta *r* a seguir esto representados alguns de seus pontos e uma rgua graduada em 
centmetros. 

<F->
--A----B---C----D----E----r
  0    4   6   10   13
<F+>

Note que ^c?{a{b* tem 4 cm. 
 Escreva quantos centmetros mede: 
 a) ^c?{a{c* 
 b) ^c?{b{c* 
 c) ^c?{b{d* 
 d) ^c?{a{d* 
 e) ^c?{b{e* 
 f) ^c?{c{e* 
<R->

<152>
<p>
<R+>
17. Escreva os segmentos de reta que compem 
o contorno de cada figura. 

I)
<F->
A     D
 !:::::
 l     _
 l     _ 
 l     _ 
 h:::::j
B     C

II)
      I       H
      icccccccc
     i         _
    i          _
E            _
    e          _ 
     e         _ 
      e::::::::j
      F       G
<f+>

Quantos segmentos de reta compem 
o contorno da figura I? E da figura II? 
 
18. Observe as retas representadas na malha 
quadriculada _`[no adaptada_`]. 
 Escreva os pares de retas: 
 a) paralelas 
 b) concorrentes 
 c) perpendiculares 
 d) oblquas 

19. Na figura _`[no adaptada_`]  apresentado o mapa 
de parte da cidade de So Paulo. 
 a) Quais ruas e avenidas aparecem no 
mapa? 
 b) Das ruas e avenidas apresentadas, 
quais so paralelas  rua Helipolis? 
E perpendiculares  avenida Imperatriz 
  Leopoldina? 
 c) Qual rua  paralela  avenida Imperatriz 
Leopoldina e concorrente  rua 
Aroaba? 

20. Sem utilizar instrumentos, responda s 
questes. 
 a) As linhas verticais so paralelas? 
 b) As linhas horizontais so paralelas? 
  Agora, com o auxlio de esquadros, verifique se as respostas esto corretas. 

21. Na figura, _`[no adaptada_`] as retas *r*, *s*, *t*, *u* e *v* contm 
algumas arestas do cubo. 
 De acordo com a figura, responda s questes. 
 a) Qual reta  paralela  reta *r*? E  reta *t*? 
 b) Escreva os pares de retas concorrentes. 
Esses pares de retas so perpendiculares 
ou oblquas? 

22. Utilizando esquadros, construa um par de 
retas paralelas, um par de retas oblquas 
e um par de retas perpendiculares. 
<R->

<153> 
<p>
<R+>
Refletindo sobre o captulo 
 
Anote as respostas 
no caderno. 

1. Quais foram os contedos abordados neste captulo? 
 2. Cite alguns objetos nos quais  possvel observar ngulos retos. 
 3. Um giro de #,e de volta corresponde a um ngulo agudo ou obtuso? Justifique. 

4. Observe. 

_`[{tirinha em trs quadrinhos_`]
 1 -- Cebolinha correndo para que o coelhinho de brinquedo, que foi atirado, no pegue nele. Em frente h uma placa com a seta indicando "para cima".
 2 -- Cebolinha fica atrs da placa e o coelhinho segue a direo da seta "para cima".
 3 -- Cebolinha comea a caminhar satisfeito, s que no repara que h outra placa com a seta indicando "para baixo". Em cima dele est caindo o coelhinho.

*Mauricio de Sousa*. Cebolinha. Obtido em: ~,www.monica.~
  com.br~, 
 Acessado em: 05/09/2008. 

Qual a relao entre o trajeto percorrido pelo coelho e as placas que aparecem na tirinha? 

5. A figura _`[no adaptada_`] representa uma rua em subida. 
 Quanto maior o ngulo de inclinao de uma rua em subida, mais 
acentuada ela . Para qualquer rua em subida, o ngulo de inclinao 
ser sempre agudo ou obtuso? Por qu? 
 6. No estudo de ngulos e retas, qual a utilidade do transferidor e dos esquadros? 
 7. Em geral, os supermercados organizam suas gndolas de maneira que fiquem paralelas. 
J na construo civil, um muro, por exemplo,  construdo perpendicularmente 
ao solo. Cite algumas situaes em que a ideia de retas paralelas e perpendiculares 
 utilizada. 
 
8. Observe as imagens e, a partir dos contedos estudados neste captulo, elabore e 
escreva algumas questes relacionadas a elas. Junte-se a um colega, troquem as 
questes que vocs elaboraram e discutam as resolues. 

_`[{quatro imagens_`]
 1 -- Um boneco em cima de uma escada para trocar uma lmpada.
 2 -- Uma folha com o desenho de um ngulo e um transferidor em cima.
 3 -- Um par de esquadros em uma folha onde h vrias retas paralelas desenhadas.
 4 -- Um mapa com algumas ruas.
<R->

<154>
<p>
<R+>
Reviso

Anote as respostas no caderno.
 
_`[{para as atividades de 24 a 27, 29 e 32 pea orientao ao professor_`]

23. Bia est em uma praa posicionada de 
frente para uma rvore. Observe. 

_`[{desenho adaptado_`]

<F->
      rvore 
banco  Bia  chafariz
      lixo
<F+>

Escreva o objeto que ficar de frente para 
Bia se ela realizar um giro de: 

Em cada giro, considere Bia na posio inicial.

 a) meia-volta para a direita 
 b) um quarto de volta para a esquerda 
 c) uma volta para a direita 
 d) trs quartos de volta para a esquerda 

24. Utilizando um transferidor, determine a 
medida dos ngulos _`[no adaptados_`].

25. Observe a figura _`[no adaptada_`]. 
 a) Utilizando um transferidor, determine 
as medidas dos ngulos agudo e obtuso 
desta figura. 
 b) A figura possui algum ngulo reto? 
Quantos? 

26. Utilizando apenas esquadros, construa um 
ngulo de: 
 a) 180 
 b) 105 
 c) 75 
 
27. Com o auxlio de uma rgua, obtenha as 
medidas, em centmetros, dos segmentos 
de retas que compem o contorno 
de cada figura _`[no adaptada_`]. 

Podemos indicar a medida de 
um segmento {i{j com 3 cm por 
{i{j=3 cm ou med`(^c?{i{j*`)=3 cm. 

28. Verifique qual afirmativa  falsa. 
 a) Todo par de retas oblquas tambm  
concorrente. 
 b) Duas retas perpendiculares sempre 
tm um nico ponto em comum. 
 c) Todo par de retas concorrentes tambm 
 perpendicular. 
 Agora, reescreva a afirmativa falsa corrigindo-a. 
<R->
 
<155> 
<R+>
29. Utilizando um transferidor, determine a 
medida do ngulo 
  _`[no adaptado_`] e verifique se 
os pares de retas so perpendiculares ou 
oblquos. 
<p>
Testes

Anote as respostas no caderno.

30. Um giro de 2#,d de volta corresponde a um 
ngulo de: 
 a) 680 
 b) 780 
 c) 810 
 d) 900 
 e) 960 

31. Sabendo que na figura a seguir o ngulo 
:?{a{o{b*  obtuso, ento o ngulo :?{b{o{c* : 

<F->
B 
  
   
    
     
             
C ccccccccc A
      O
<F+>

 a) raso 
 b) reto 
 c) obtuso 
 d) agudo

32. (SARESP -- SP) Observe os desenhos _`[no adaptados_`], 
feitos no computador, para indicar 
caminhos percorridos por um robozinho. 
 O desenho que indica que o robozinho 
mudou somente duas vezes de direo 
e em ngulo reto : 
 a) figura 1 
 b) figura 2 
 c) figura 3 
 d) figura 4 

33. De acordo com a figura, qual das alternativas 
a seguir  falsa? 
<p>
<F->
       r      s       

       _      _
       _      _
       _      _
t -----_------_-------
       _      _
       _      _
u -----_------_-------
       _      _
       _      _
       _      _
<F+>

a) r#'t 
 b) s_lu 
 c) r_ls 
 d) t#'s 
 e) t_lu 

34. (OBMEP) Carlos pode ir de sua casa  escola 
andando trs quilmetros para o 
norte, dois para o oeste, um para o sul, 
quatro para o leste e finalmente dois para 
o sul. Para 
<p>
  ir de casa  escola em linha 
reta, Carlos deve andar: 
 a) 2 km para o leste 
 b) 1 km para o sul 
 c) 5 km para o leste 
 d) 3 km para o oeste 
 e) 4 km para o norte 
<R->

               oooooooooooo

<156>
<p> 
<R+>
Captulo 8 -- Polgonos e 
  formas circulares 

_`[{o contedo deste captulo bem como as atividades propostas so predominantemente visuais.
Para melhor aproveitamento pea orientao ao professor_`]

_`[{imagens descritas por legendas_`]
 Legenda 1: O tangram  um 
quebra-cabea chins 
com o qual  possvel 
formar diversas 
figuras, como as 
apresentadas _`[no adaptadas_`]. 
 Legenda 2: Bandeira dos Jogos Olmpicos.

Conversando sobre o assunto 
 a) O tangram  formado por quantas peas? 
 b) O que representa cada figura formada pelo tangram _`[no representado_`]? 
<p>
 c) Cada uma das peas do tangram lembra alguma forma geomtrica. Qual o nome 
dessas formas? 
 d) Qual forma geomtrica lembra os smbolos que compem a bandeira dos Jogos 
Olmpicos? 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<157> 
Polgonos
 
  A inspirao para muitos artistas realizarem seus trabalhos pode ocorrer de 
vrias formas. Alguns deles utilizam em suas obras formas geomtricas. Veja 
nas imagens a representao das telas de trs artistas. 

<R+> 
_`[{trs telas descritas por legendas_`]
 Legenda 1: Bandeirinhas.
 Legenda 2: Concreo 6.048. 
 Legenda 3: Composition VIII.
<p>
Alfredo Volpi: Alfredo Volpi 
(1896-1988) 
nasceu em Lucca, 
na Itlia, porm 
viveu quase 
toda sua vida no 
Brasil. Esse artista 
sempre valorizou 
o trabalho 
artesanal, fazendo 
suas prprias 
ferramentas de 
pintura como, 
por exemplo, 
as tintas, que 
eram compostas 
de pigmentos 
naturais. 
Volpi era 
autodidata e 
muitas de suas 
obras continham 
elementos 
geomtricos, 
como as 
"bandeirinhas", 
que esto 
presentes em 
diversas de suas 
pinturas. 
<R->

  Polgono: palavra de origem 
grega em que 
*poli* significa 
muitos e *gono* 
significa ngulos. 
<p> 
  Observando as telas, podemos identificar algumas formas geomtricas chamadas 
*polgonos*. 
<F->
;
l
l 
l  
l      
v----u

   ccccccc
           
            
-------------u

!::::::
l      _
l      _
l      _
l      _
l      _
h::::::j

!::::
l    _
l    _ 
h::::j
<p>
!:::::::!
l      
l     i  
l    
l     e 
l      e
h:::::::h
<F+>

<R+>
As formas geomtricas planas cujo contorno  fechado e formado por 
segmentos de reta que no se cruzam so chamadas polgonos. Cada segmento 
de reta que compe o contorno do polgono representa um de seus lados. 
<R->

_`[{a menina diz_`]
  "Essas figuras _`[no adaptadas_`] no 
so polgonos."

  Em um polgono podemos destacar os seguintes elementos: 
<p>
<F->
         D       C -- vrtice
          ccccccc 
lado --           
                   
       -------------u -- ngulo 
      A            B     interno
<F+>

  Neste polgono, temos: 
<R+>
  4 lados: ^c?{a{b*, ^c?{b{c*, ^c?{c{d* e ^c?{a{d* 
  4 vrtices: {a, {b, {c e {d 
  4 ngulos internos: :{a, :{b, :{c e :{d
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "Em um polgono, o nmero 
de lados, vrtices e ngulos 
internos  sempre igual."

<R+>
Em um polgono tambm podemos destacar os ngulos externos, que so 
obtidos prolongando os lados desse polgono. A quantidade de ngulos externos 
 igual  dos ngulos internos. 
<R->

<158> 
<p>
Classificao dos polgonos 

  De acordo com algumas caractersticas, os polgonos podem ser classificados 
da seguinte maneira.

<R+>
Tringulo: 3 lados, 3 vrtices e 
3 ngulos internos 
 Quadriltero: 4 lados, 4 vrtices e 
4 ngulos internos 
 Pentgono: 5 lados, 5 vrtices e 
5 ngulos internos 
 Hexgono: 6 lados, 6 vrtices e 
6 ngulos internos 
 Heptgono: 7 lados, 7 vrtices e 
7 ngulos internos
 Octgono: 8 lados, 8 vrtices e 
8 ngulos internos 
 Enegono: 9 lados, 9 vrtices e 
9 ngulos internos 
 Decgono: 10 lados, 10 vrtices e 
10 ngulos internos 
<R->
<p>
Polgonos convexos e polgonos 
  no convexos
 
  Os polgonos _`[no adaptados_`] foram classificados em dois grupos. 

<R+>
  Os polgonos apresentados no grupo A so convexos. Dizemos que um 
polgono  convexo quando todo segmento de reta, cujas extremidades pertencem 
a esse polgono, tem todos os seus pontos no interior do polgono. 
  Os polgonos apresentados no grupo B so no convexos. Dizemos que 
um polgono  no convexo quando existe pelo menos um segmento de 
reta, cujas extremidades pertencem a esse polgono, que no tem todos os 
seus pontos no interior do polgono. 
<R->

<159>
<p>
Polgonos regulares 

  Observe os polgonos. 

<F->
    .
     
      
       
--------u

   ^ 
 .a    a 
        
       
  ----

  cccc
       
        
        
       
  ----
<F+>

  Em cada um destes polgonos, todos os lados so iguais e todos os ngulos 
possuem a mesma medida. 
<p>
Dizemos, ento, que todos estes polgonos 
so regulares. 

<R+>
Abelhas e 
hexgonos: Os polgonos 
regulares podem 
ser observados 
em elementos da 
natureza como, 
por exemplo, nos 
alvolos dos favos 
de mel. Nesse 
caso, os alvolos 
lembram hexgonos 
regulares. 
 
Atividades

Anote as respostas no caderno.

_`[{para as atividades de 1 a 8 pea orientao ao professor_`]

1. Observe as figuras _`[no adaptadas_`] e classifique-as em polgonos 
e no polgonos. 
 
2. Esto apresentadas as planificaes 
de duas formas geomtricas _`[no adaptadas_`] espaciais. 
 a) Qual das planificaes  composta 
apenas de polgonos? 
 b) Qual o nome da forma geomtrica espacial 
obtida a partir da planificao I? E da planificao II? 

3. Identifique os vrtices, lados e ngulos 
internos de cada polgono _`[no adaptado_`]. 

4. Classifique os polgonos 
  _`[no adaptados_`] em relao ao 
nmero de lados. 
 Agora, classifique estes polgonos em 
convexos e no convexos. 
<R->

<160> 
<R+>
5. Contexto 
 O Cdigo de Trnsito Brasileiro (CTB) regulamenta 
os direitos e deveres de motoristas 
e pedestres. O pedestre, por 
exemplo, deve atravessar as vias sempre 
utilizando as faixas de pedestres e respeitando 
as indicaes dos semforos, 
quando houver. J o motorista deve, por 
exemplo, obedecer s sinalizaes das 
placas de trnsito. Respeitar o CTB  garantir 
que ocorram menos acidentes e, 
consequentemente, menos vtimas. 
 Observe algumas placas de sinalizao 
de trnsito _`[no adaptadas_`]. 
 a) Qual o nome do polgono que cada 
placa lembra? 
 b) Associe cada placa ao seu significado. 
Para isso, escreva o nmero e o 
smbolo romano correspondentes. 

 I) Rodovias e estradas estaduais 
 II) Passagem sinalizada de escolares 
 III) Parada obrigatria 
 IV) D a preferncia 

6. Com bases nas medidas dos lados e dos 
ngulos indicados, classifique cada polgono 
em regular ou irregular. 

_`[{figuras adaptadas_`]
 a) Quadriltero com todos os lados medindo 2 cm, dois ngulos internos medindo 60 e dois ngulos internos medindo 120. 
 b) Tringulo com todos os lados medindo 3 cm e todos os ngulos medindo 60.
 c) Quadriltero com dois lados paralelos medindo 2 cm, dois lados paralelos medindo 3 cm e todos os ngulos so retos.
 d) Pentgono com todos os lados medindo 2 cm e todos os ngulos medindo 108.

7. Contexto 
 Tarsila do Amaral (1886-1973), nascida 
em Capivari (SP),  considerada uma das 
mais importantes pintoras brasileiras. Participante 
do movimento modernista, Tarsila 
utiliza-se, em suas obras, de temas 
do cotidiano brasileiro, lembrando-se de 
sua infncia e adolescncia vividas em 
uma fazenda. Mais informaes sobre Tarsila 
do Amaral, tais como, suas obras e 
<p>
  biografia, podem ser encontradas no *site* 
  ~,www.tarsiladoamaral.com.br~, 
 Observe uma das telas de Tarsila do Amaral. 

_`[{tela seguida por legenda_`]
 Legenda: O Mamoeiro.

Fonte: Tarsila do Amaral. 1925. UEB -- USP, So Paulo.

 a) Qual o nome desta tela? Em que ano 
ela foi pintada? 
 b) Cite os nomes de alguns polgonos que 
podem ser identificados nesta tela. 

8. Escreva o nome dos polgonos utilizados 
para compor cada mosaico _`[no adaptado_`]. 
<R->
 
<161> 
Tringulos 

  Veja nas imagens algumas formas que lembram tringulos. 

<R+>
_`[{trs imagens descritas por legendas_`]
 Legenda 1: As figuras em destaque na 
fotografia _`[no adaptada_`] so tringulos. 
 Legenda 2: Majestic Golden Gate Bridge, So Francisco, 
Califrnia, nos Estados 
  Unidos. 
 Legenda 3: Bandeira de 
Minas Gerais. 

Fractal: Os fractais so 
formas geomtricas 
abstratas com 
padres complexos 
que se repetem 
infinitamente. 
Na imagem _`[no adaptada_`]
est 
representado 
um fractal no 
qual aparecem 
tringulos. A 
palavra fractal 
 derivada do 
*latim* fractus, 
cujo significado 
 irregular ou 
quebrado. 
Essas formas 
possuem algumas 
caractersticas 
comuns e uma 
relao entre esses 
objetos e aqueles 
encontrados 
na natureza. 
Um fractal  
gerado a partir 
de uma frmula 
matemtica, muitas 
vezes simples, 
mas que aplicada 
de certa forma 
produz resultados 
impressionantes.
<R->

  Um tringulo  um polgono que possui trs lados no qual podemos destacar 
os seguintes elementos. 

<F->  
       C -- vrtice
       .
lado    
         
          
A --------u B -- ngulo interno
<F+>

<R+>
  3 lados: ^c?{a{b*, ^c?{b{c* e ^c?{a{c* 
  3 vrtices: {a, {b e {c
  3 ngulos internos: :{a, :{b e :{c
<R->

  Este tringulo pode ser nomeado de duas maneiras: tringulo {a{b{c ou simplesmente 
{a{b{c. 
  Para indicar a medida de cada lado de um tringulo escrevemos a letra do 
vrtice oposto ao lado, porm minscula. No tringulo anterior indicamos a 
medida de seus lados por: med^c?{a{b*=c, 
 med^c?{b{c*=a e med^c?{a{c*=b. 

Classificao dos tringulos 

  Os tringulos podem ser classificados de acordo com as medidas de seus 
lados ou de seus ngulos internos. 
<R+>
  Quanto  medida dos lados, os tringulos podem ser classificados da seguinte 
maneira. 

Tringulo equiltero 

<F->   
       C
       .
    b    a
         
          
A --------u B 
        c
<F+>

Tringulo que possui 
todos os lados com 
medidas iguais. 
 a=b=c 

Tringulo issceles

<F->
        C
        .
     b    a
          
           
A  --------u B
         c
<F+>

Tringulo que possui 
pelo menos dois lados 
com medidas iguais. 
 a=b 

Tringulo escaleno 
<F->

   C
   ;
   l
   l  
b  l   a 
   l   
   l    
A v-----u B
     c
<F+>
<p>
Tringulo que possui 
todos os lados com 
medidas diferentes. 
 a=b=c 
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "O prefixo 
*equi* significa 
igualdade."

<162>
<R+>
  Quanto  medida dos ngulos internos, os tringulos podem ser classificados 
da seguinte maneira. 

Tringulo retngulo: Tringulo que possui 
um ngulo reto. 
 Tringulo acutngulo: Tringulo que possui 
todos os ngulos internos agudos. 
 Tringulo obtusngulo: Tringulo que possui 
um ngulo interno 
obtuso. 
<R->
 
_`[{a menina diz_`]
  "Existe um 
tringulo que 
seja issceles 
e retngulo ao 
mesmo tempo?"

<R+>
Atividades

Anote as respostas 
no caderno. 

_`[{para as atividades de 11 a 20 pea orientao ao professor_`]

9. Escreva o nome de alguns objetos ou imagens 
que lembram tringulos. Compare 
a sua resposta com a de um colega. 
 
10. Nomeie e identifique os vrtices, os lados 
e os ngulos internos de cada tringulo. 

 a)
<F->
        F
        .
          
          
           
G  --------u H
         
<F+>
<p>
b)
<F->
   L
   ;
   l
   l  
   l    
   l   
   l    
M v-----u N
<F+>

11. Observe a figura _`[no adaptada_`]. 
 Quantos tringulos h na figura? Nomeie 
cada um deles. 
 12. O esquema _`[no adaptado_`] lembra um tringulo construdo 
com seis palitos. 
 Copie o esquema em seu caderno mudando 
a posio de dois palitos de forma que 
obtenha dois tringulos menores. 

13. Contexto 
 Luiz Sacilotto 
(1924-2003) foi um 
dos artistas brasileiros 
que mais contriburam 
para o movimento 
artstico da 
Arte Concreta. Suas 
obras se destacam, 
entre outros aspectos, 
pela iluso de 
tica sugerida pelas 
combinaes de cores, linhas exatas e 
ngulos rigidamente traados. 
 Observe uma das obras de 
  Sacilotto _`[no adaptada_`]. 
 a) Quantos tringulos formados por apenas 
uma cor compem esta obra? 
 b) Quantos tringulos h na obra? 
 c) Os tringulos de mesma cor tm os lados 
com as mesmas medidas? 
<R->

<163> 
<R+>
14. Nomeie os tringulos que compem a superfcie 
de cada pirmide _`[no adaptada_`]. 
 15. Com o auxlio de uma rgua, mea os lados 
dos tringulos 
  _`[no adaptados_`] e classifique-os em equiltero, 
issceles ou escaleno. 

Todo tringulo equiltero tambm  issceles.
<p>
16. O hexgono _`[no adaptado_`] regular foi dividido 
em tringulos. 
 a) Em quantos tringulos o hexgono regular 
foi dividido? 
 b) Como pode ser classificado cada um 
desses tringulos em relao s medidas 
dos lados? 

17. A seguir esto apresentadas as medidas 
dos lados dos tringulos {a{b{c, {e{f{g e {h{i{j. 
 Classifique-os quanto s medidas dos 
lados. 
 a) ?{a{b{c*: a=10 cm, b=15 cm e c=10 cm 
 b) ?{e{f{g*: e=5 cm, f=6 cm e g=7 cm 
 c) ?{h{i{j*: h=5 m, i=5 m e j=5 m 

18. Observe os tringulos na malha quadriculada 
_`[no adaptada_`] e classifique-os em retngulo, 
acutngulo ou obtusngulo. 
<p>
19. Utilizando um transferidor, mea os ngulos 
internos do tringulo _`[no adaptado_`]. 
 a) Classifique este tringulo quanto s 
medidas de seus ngulos. 
 b) Este tringulo possui um par de ngulos 
internos com medidas iguais? De 
quantos graus? 
 c) Com o auxlio de uma rgua, classifique 
o tringulo quanto s medidas 
dos lados. 

20. Classifique os tringulos que compem o 
tangram desenhado na malha quadriculada _`[no adaptada_`] 
quanto s medidas dos: 
 a) lados 
 b) ngulos internos 
<R->
 
<164> 
Quadrilteros 

  Observe parte do mapa de uma cidade em que aparecem algumas formas 
que lembram quadrilteros. 
<p>
<R+>
_`[{dois mapas descritos a seguir_`]
 1 -- Mapa de ruas e quatro delas formam um quadriltero.
 2 -- Quadriltero ferrfero seguido por legenda.

<F->
Belo Horizonte        Santa 
     o--------------o Brbara 
                            
                   
                  
                 
                
          o----o
Congonhas         Mariana
<F+>

Legenda: No mapa est representada uma regio do estado de Minas Gerais 
conhecida como "Quadriltero ferrfero", delimitada pelas cidades 
de Belo Horizonte, Congonhas, Mariana e Santa Brbara. Nessa 
regio 
<p>
  se encontra uma importante jazida de minrio de ferro. 

Adaptado de *Atlas geogrfico escolar*. Rio de Janeiro: IBGE, 2007.
<R->
 
  O quadriltero  um polgono que possui quatro lados no qual 
podemos 
destacar os seguintes elementos. 

<F->
 D             C -- vrtice
  pccccccccccccc
  l             _
  l             _ -- lado
  l             _
  v-------------# -- ngulo 
 A             B    interno
<F+>

<R+>
  4 lados: ^c?{a{b*, ^c?{b{c*, ^c?{c{d* e ^c?{a{d*   
  4 vrtices: {a, {b, {c e {d
  4 ngulos: :{a, :{b, :{c e :{d 
<R->

  Podemos nomear um quadriltero a partir das letras que representam os 
seus vrtices, isto , quadriltero {a{b{c{d. 

Classificao dos quadrilteros 

  De acordo com algumas caractersticas, os quadrilteros podem ser classificados 
da seguinte maneira. 

Paralelogramo

<F->
     D            C
     ccccccccccccm
                 
               
  ------------ 
A             B   
<F+>

<R+>
Quadriltero que possui dois pares de 
lados paralelos. 
 ^c?{a{b*=^c?{c{d*
 ^c?{a{d*=^c?{b{c*
 Nesse caso, os ngulos opostos tm 
medidas iguais, ou seja: 
 med:{a=med:{c
 med:{b=med:{d
<R->

Trapzio

<F->
    D        C
     cccccccc
                 
               
  --------------u
A                B   
<F+>

<R+>
Quadriltero que possui apenas 
um par de lados paralelos. 
 ^c?{a{b*=^c?{c{d* 
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "H quadrilteros que no so 
paralelogramos nem trapzios."

<165> 
Classificao dos paralelogramos 

  Os paralelogramos podem ser classificados de acordo com a medida dos 
lados e dos ngulos internos. 
<p>
<R+>
Retngulo 

<F->
A               D
  pccccccccccccc
  l             _
  l             _ 
  l             _
  v-------------# 
B               C
<F+>

Quadriltero que possui os 
quatro ngulos internos 
retos. 

Losango

<F->
           E
         .,a,.
     .,a       a,.
F ~k             {, H
     a,.       .,a 
         a,.,a
           G
<F+>

Quadriltero que possui 
os quatro lados com as 
mesmas medidas. 
<p>
Quadrado

<F->
 J    N
  !::::
  l    _
  l    _ 
  h::::j
 L    M
<F+>

Quadriltero que possui 
os quatro ngulos internos 
retos e os quatro lados 
com a mesma medida. 
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "O quadrado , ao 
mesmo tempo, 
retngulo e losango, 
pois possui todos 
os ngulos retos e 
todos os lados com 
medidas iguais."

<R+>
Atividades 

Anote as respostas 
no caderno. 

_`[{para as atividades 23, 25 e de 27 a 31 pea orientao ao professor_`]
<p>
21. Escreva o nome de alguns objetos ou imagens 
que lembram quadrilteros. Compare 
sua resposta com a de um colega. 

22. Nomeie e identifique os vrtices, os lados e 
os ngulos internos de cada quadriltero. 

<F->
a)
 F             I
  cccccccccccccm
              
             
             
      -----  
     G     H

b)
 J               M
  ccccccccccccccm 
               
              
              
   K ------ L 
<F+>
<p>
23. Nomeie e classifique em trapzio, retngulo, 
losango ou quadrado os quadrilteros 
apresentados na malha quadriculada _`[no adaptada_`]. 

Um quadriltero pode ter mais de uma classificao.

24. Determine quantos quadrilteros h na figura 
e nomeie cada um deles. 

<F->
  A     G   F
   !:::::::::
   l      _   _
   l      _   _ 
B pccccccH _ 
   l      _   _
   l      _   _
   l      _   _
   h::::::j:::j
  C     D   E
<F+>

25. Observe a representao de um campo 
de futebol. 
<p>
_`[{campo de futebol adaptado_`]

<F->
   !::::::::::::!::!::::::
   l      _  _    l  l      _
   l      _  ::::b  l      _
   l      _          l      _
   l      :::!:::::b      _
   l          --          _
   l                        _
   l                        _
   l           --           _
   l         s             _
   l:::::::::r:o:w:::::::::w
   l                      _
   l           cc           _
   l                        _
   l          scc          _
   l      $:::h::j:::;      _
   l      _          l      _
   l      _  $::::;  l      _
   l      _  _    l  l      _
   h::::::j::j::::h::h::::::j
<F+>

 a) Quantos quadrilteros 
podem ser identificados 
em um campo 
de futebol? 
<p>
 b) Como podem ser 
classificados esses 
quadrilteros? 
<R->

<166>
<R+>
26. O esquema a seguir foi construdo com palitos. 

<F->
   :::: ::::
  l    _    _
  l    _    _ 
   :::: ::::         
  l    _    _
  l    _    _
   :::: ::::
<F+>

a) Quantos palitos foram utilizados na 
construo do esquema? 
 b) Observando o esquema, quantos quadrados 
podem ser identificados? 
 c) Copie o esquema no caderno retirando 
dois palitos de forma que seja possvel 
identificar apenas dois quadrados. 

27. Os quadrilteros _`[no adaptados_`] foram formados 
com as peas do tangram. Classifique 
estes quadrilteros em trapzio, retngulo, 
losango ou quadrado. 

28. Classifique cada afirmao em verdadeira 
(V) ou falsa (F). 
 a) O paralelogramo  um quadriltero 
que tem apenas um par de lados paralelos. 
 b) Todo quadrado tambm  um retngulo. 
 c) O losango possui todos os lados com 
a mesma medida e paralelos dois a 
dois. 
 d) Um trapzio tem sempre um par de lados 
paralelos. 
 e) O quadrado tambm  um trapzio. 
 Agora, copie as afirmaes falsas fazendo 
as devidas correes para torn-las 
verdadeiras. 

29. Desafio 
 Observe o mosaico _`[no adaptado_`]. 
 a) Este mosaico  composto apenas de 
quadrilteros? 
 b) Quantos quadrados  possvel identificar 
no mosaico? E quantos trapzios? 

30. A tela _`[no adaptada_`] foi pintada pelo espanhol 
Salvador Dal (1904-1989). 
 a) Quais quadrilteros podem ser identificados 
nesta tela? 
 b) Que animal o pintor representa no quadro? 

31. Responda s questes. 
 a) Os trapzios _`[no adaptados_`] tm o mesmo tom de verde? 
 b) Na figura _`[no adaptada_`], as linhas em azul 
formam retngulos? 
<R->

<167> 
Formas circulares 

Circunferncia 

  As formas circulares foram fonte de inspirao para que muitos artistas criassem 
figuras interessantes. O artista italiano 
 Leonardo da Vinci (1452-1519), 
por exemplo, foi um deles. Considerado um dos maiores gnios de sua poca, 
da Vinci foi pintor, escultor, arquiteto, matemtico, msico e engenheiro. 
  A imagem a seguir representa uma obra de autoria de Leonardo da Vinci e 
mostra as propores existentes entre algumas partes do corpo humano. 

<R+>
_`[{imagem seguida por legenda_`]
 Legenda: *O Homem Vitruviano*.

Euro `(^e`): A imagem anterior 
  _`[no adaptada_`]
representa um lado 
de uma moeda 
de 1 euro, moeda 
corrente na Europa. 
Nela, podemos 
notar a imagem 
da obra *O Homem 
Vitruviano*. 
<R->

  A forma geomtrica destacada nesta imagem  chamada circunferncia. 

<R+>
Circunferncia  uma linha fechada em um plano, na qual todos os seus 
pontos esto a uma mesma distncia de um ponto fixo, chamado centro. 
<R->

  Em uma circunferncia, podemos destacar 
os seguintes elementos: 
<R+>
  O centro da circunferncia, nesse caso, 
indicado pelo ponto O. 
  O segmento de reta que liga o centro O a 
um ponto qualquer da circunferncia  chamado 
raio. Os segmentos {o{a, {o{b e {o{c, 
por exemplo, so raios da circunferncia. 
  O segmento que une dois pontos quaisquer de uma circunferncia  chamado 
corda. Os segmentos {c{b, {d{e e {e{f so exemplos de cordas. 
  Uma corda que passa pelo centro da circunferncia  chamada dimetro. 
O segmento {c{b  um exemplo de dimetro. 
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "Note que a medida do 
dimetro  o dobro da 
medida do raio."
<168> 
<p>
Construindo uma circunferncia 
  com o compasso 

  Veja como podemos construir uma circunferncia de raio 1,5 cm utilizando 
rgua e compasso. 

<R+>
1 Abra o compasso com uma abertura de 1,5 cm. 
 2 Marque um ponto O, que ser o centro da 
circunferncia. Fixe a ponta-seca no ponto O 
e gire o compasso uma volta completa.
<R->

Crculo 

  Observe as imagens a seguir.
 
<R+>
_`[{trs imagens_`]
 1 -- Uma laranja cortada em duas partes.
 2 -- Um alvo para lanamento de dados.
 3 -- Um pires com uma xcara.
<R->
<p>
  Estas imagens lembram uma forma geomtrica chamada crculo. 

<R+>
Crculo  uma forma geomtrica 
plana formada por uma circunferncia 
e por todos os pontos de seu interior. 
<R->

  Observe a seguir os elementos _`[no adaptados_`]
que podemos destacar em um crculo. 

<R+>
Circunferncia, centro e regio interna. 
 
Atividades 

Anote as respostas 
no caderno.

_`[{para as atividades de 32 a 37 pea orientao ao professor_`]

32. Na figura _`[no adaptada_`] O  o centro da circunferncia. 
<p>
 Em relao aos segmentos que aparecem 
na circunferncia, quais so: 
 a) cordas? 
 b) raios? 
 c) dimetros? 

33. Calcule a medida dos segmentos vermelhos 
em cada circunferncia _`[no adaptada_`]. 
 
Nas circunferncias, o 
ponto O corresponde 
ao centro. 
<R->

<169> 
<R+>
34. Na figura _`[no adaptada_`] h uma circunferncia 
de centro O e trs retas. 
 a) Escreva qual das retas: no cruza a circunferncia; cruza a circunferncia em um nico ponto; 
cruza a circunferncia em dois 
pontos.
 b)  possvel traar uma reta que cruze a 
circunferncia em 3 pontos ou mais? 
<p>
35. Utilizando um compasso, Paula construiu 
duas circunferncias de mesmo centro O 
com raios medindo 3 cm e 4 cm, ou seja, 
duas circunferncias concntricas. 
 a) Qual a medida do segmento {a{b? 
 b) Utilizando um compasso, construa 
duas circunferncias concntricas de 
raios medindo 5 cm e 7 cm. 

36. Observe a planificao de algumas formas 
geomtricas espaciais _`[no adaptadas_`]. 
 a) Aps construda, que forma geomtrica 
espacial  obtida a partir de cada 
planificao? 
 b) Quais das formas geomtricas espaciais 
tm crculos em sua superfcie? 

37. Junte-se a um colega e responda. 
 a) Os crculos em azul tm o mesmo tamanho? 
<p>
 b) A figura em vermelho  uma circunferncia? 
 c) A imagem representa crculos concntricos 
ou uma espiral? 
 d) Na imagem _`[no adaptada_`] h um retngulo sobre 
uma circunferncia. O arco que faz 
parte da circunferncia  o verde ou 
o azul? 
<R->

<170>
<R+>
Refletindo sobre o captulo 

Anote as respostas 
no caderno. 

1. Quais foram os contedos abordados neste captulo? 
 2. Cite alguns objetos de sua sala de aula cujas formas lembram polgonos. 
 3. Como podem ser classificados os tringulos quanto  medida dos lados? E quanto  
medida dos ngulos? 
 4. O que diferencia um paralelogramo de um trapzio? 
<p>
 5. Vimos que muitos artistas utilizam formas geomtricas em suas obras. Elabore um desenho 
em que apaream polgonos e circunferncias. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 6. Qual  a diferena entre uma circunferncia e um crculo? 
 
7. Observe o que Aline est dizendo. 
<R->

_`[{aline diz_`]
  "Todo quadrado  um losango e 
um retngulo ao mesmo tempo."

<R+> 
 A afirmao feita por Aline  verdadeira ou falsa? Justifique. 

 8. Os nmeros que aparecem a seguir so alguns dos chamados nmeros triangulares. 

<F->
                     o  
            o      oo 
     o    oo    ooo
o  oo  ooo  oooo
1   3     6      10

                 o  
    o          oo
   oo        ooo 
  ooo      oooo 
 oooo    ooooo
ooooo  oooooo
   15          21
<F+>
    
  Em sua opinio, por que esses nmeros recebem esse nome? 
  Alm dos nmeros que aparecem anteriormente, cite mais dois nmeros triangulares. 

 9. Observe as imagens e, a partir dos contedos estudados neste captulo, elabore e escreva 
algumas questes relacionadas a elas. Junte-se a um colega, troquem as questes 
que vocs
<p>
  elaboraram e discutam as resolues. 

_`[{cinco imagens_`]
 1 -- Uma gndola.
 2 -- Uma quadra de tnis.
 3 -- Uma roda gigante.
 4 -- Um instrumento musical: o tringulo.
 5 -- Um mosaico.
<R->

<171> 
Explorando o tema 

Anote as respostas 
no caderno.

Como se costura o ltimo gomo de 
  uma bola de futebol?
 
  O modelo clssico de uma bola de futebol  
feito com 32 gomos (20 hexgonos e 12 pentgonos), 
que so costurados  mo entre si. A 
bola  *cosida* do lado avesso e, quando faltam 
apenas trs gomos para acabar, o arteso a vira 
para a face certa. O fechamento  feito com 
cuidado para que o ltimo n no fique aparente. 
A tcnica  a mesma desde que surgiu 
esse modelo de 32 gomos, na dcada de 1950. 
[...] Ao adquirir uma esfericidade quase impecvel, 
elas se tornaram mais precisas e equilibradas. 
  Alis, desde que Charles Goodyear 
(1800-1860) vulcanizou a borracha, em 1836, 
incorporando outros componentes  matria-prima, 
o que gerou um produto mais consistente, 
a bola nunca mais foi a mesma. Ainda 
bem, pois, antes disso, ela era feita basicamente 
com bexiga de porco e couro natural. 
  As ltimas dcadas viram o avano tecnolgico 
e o surgimento de materiais mais resistentes 
e impermeveis. Hoje, para participar 
de campeonatos oficiais, uma bola precisa 
passar por testes rigorosos e se enquadrar nos 
requisitos impostos pela FIFA 
 (Fdration 
Internationale de Football Association). Segundo 
as exigncias da instituio, a absoro 
de gua no pode ultrapassar a marca de 
10%, o permetro deve girar entre 68,5 cm e 
71 cm, e o peso variar de 420 g a 445 g. 

  Cosida: o mesmo que costurada. 

<R+>
1 -- Peas-chave 
 A bola  feita de 32 gomos: 20 hexgonos (maiores) e 12 pentgonos 
(menores). Eles j vm com os furos por onde passa a 
agulha com a linha. Para a bola no ficar disforme, a ordem  
costurar cinco hexgonos ao redor de um pentgono. [...] 
 
2 -- Unio das partes 
 O arteso costura a bola em duas partes do lado avesso. Uma 
delas j vem com a cmara de ar colada num dos gomos. Ele 
une as metades e, quando faltam trs gomos, vira a bola do 
lado certo. 
<p> 
3 -- Recheio da bola 
 A cmara de ar  uma mistura de borracha natural e borracha 
butlica, a mesma usada em cmaras de pneus de carros. 
Ela j vem colada num gomo hexgono, onde fica o orifcio 
para encher. 

4 -- Toque final 
 O fechamento  o momento mais trabalhoso, pois o arteso 
continua costurando pela parte interna, mas com a bola virada 
do lado certo. O ltimo n  feito e empurrado para dentro 
com a agulha. Ele deve ficar imperceptvel depois de a pelota 
ficar pronta. 
<R->

<172> 
<R+>
5 -- O homem por trs da obra 
 No  qualquer um que consegue costurar corretamente 
uma bola. Alm de passar meses em processo de 
treinamento, o arteso s pode tecer trs unidades 
por dia, no mximo (imagine a tendinite que esse trabalho 
pode causar). Cada bola leva cerca de duas horas 
para ficar pronta. 

Medeiros, Marcela. In: 
  *Galileu*, ano 16, n.o 193. So Paulo: Globo, agosto/2007. p. 35. 

 a) Qual  a ideia principal do texto? 
 b) Independentemente da posio em que  vista uma bola de futebol, que forma geomtrica 
pode ser identificada? 
 c) Que frao do total de gomos de uma bola de futebol so hexgonos? E pentgonos? 
 d) Que elementos contriburam no processo de evoluo pelo qual a confeco da bola de 
futebol passou ao longo do tempo? 
 e) De acordo com os requisitos impostos pela FIFA, em um jogo oficial,  permitido que 
uma bola tenha 69 cm de permetro e 450 g? Justifique. 
<p>
Reviso 

Anote as respostas 
no caderno. 

_`[{para as atividades 38, 39, 41 a 43 e de 46 a 49 pea orientao ao professor_`]

38. Associe cada polgono _`[no adaptado_`]  ficha adequada, 
escrevendo a letra e o smbolo romano 
correspondentes. 
 I) Heptgono: 
7 lados 
 II) Tridecgono: 
13 lados 
 III) Decgono: 
10 lados 
 IV) Pentadecgono: 
15 lados 

39. Escreva uma semelhana e uma diferena 
entre os polgonos 
  _`[no adaptados_`].
<p>
40. Observe o polgono. 

<F->
        C
        .
          
          
           
 A --------u B
         c
<F+>
 a) Quantos lados, vrtices e ngulos internos 
tem este polgono? 
 b) Como  classificado este polgono em 
relao ao nmero de lados? 
 c) Este polgono  convexo ou no convexo? 
<R->

<173> 
<R+>
41. Contexto 
 O tangram, apresentado na 
seo Conversando sobre 
o assunto,  um 
quebra-cabea de origem 
chinesa. Seu surgimento 
 rodeado 
por lendas. Uma delas 
diz que o tangram foi 
criado casualmente quando 
um filsofo chins derrubou um ladrilho 
quadrado que se partiu em 7 peas. Na 
tentativa de juntar as peas do ladrilho, 
o filsofo verificou que, sem sobrar e 
sem faltar nenhuma pea, era possvel a 
construo de diversas outras formas, 
alm do quadrado original. Desde ento, 
o tangram vem servindo de um excelente 
e divertido passatempo, alm de promover 
o raciocnio. 
 As figuras _`[no adaptadas_`] possuem formas que 
lembram polgonos e foram obtidas utilizando 
as 7 peas do tangram. 
 a) Escreva o nome dos polgonos representados 
em cada figura. 
 b) Quais das figuras lembram polgonos 
convexos? E no convexos? 

42. O tringulo de Sierpinski  um fractal obtido 
a partir de tringulos e foi criado pelo 
matemtico polons Waclaw 
  Sierpinski 
(1882-1969). Veja 
<p>
  a seguir como 
pode ser construdo esse fractal. 
 1 Divide-se um tringulo equiltero em 
quatro tringulos equilteros e retira-se o tringulo central. 
 2 Repete-se o procedimento para cada 
tringulo da figura obtida. 
 O tringulo de Sierpinski  obtido pela 
aplicao desse processo sucessivas 
vezes. 
 Observe a sequncia e responda s 
questes. 
 a) A prxima figura _`[no adaptada_`] da sequncia ser 
composta de quantos tringulos: 
 pretos? 
 brancos? 
 b) Em relao  medida dos lados, como 
podem ser classificados os tringulos 
obtidos na sequncia? 
<R->

<174> 
<R+>
43. O esquema _`[no adaptado_`] lembra um tringulo e 
foi construdo com 9 palitos. 
 a) Quantos palitos de lado tem esse tringulo? 
 b) Este tringulo  equiltero, issceles 
ou escaleno? 
 c) Utilizando a mesma quantidade de palitos, 
construa um esquema que lembre 
um tringulo: 
  issceles 
  escaleno 

44. Observe os esquadros representados 
a seguir.

_`[{duas ilustraes no adaptadas_`]
 Legenda 1: Esquadro de 45 ou esquadro issceles.
 Legenda 2: Esquadro de 60 ou esquadro escaleno.

 Em sua opinio, por que o esquadro de 
45 tambm  chamado de esquadro 
issceles e o de 60, de esquadro escaleno? 
<p>
45. Observe os quadrilteros a seguir. 

<F->
I)

     A      2 cm       D
      +::::::::::::+::
      l_-_          l_-_
      r::j          h::w
2 cm l                _  2 cm
      l                _ 
      r::          +::w
      l_-_          l_-_
      h::j::::::::::h::j
    B       2 cm       C

II)

         E  2,5 cm  H
         ccccccccccm
2,5 cm            
                  2,5 cm
      ---------- 
    F   2,5 cm  G   
<p>
III)

M !::::+:: P
   l_-_  l_-_
   r::j  h::w
   l        _
   l        _
   l        _
   r::  +::w
   l_-_  l_-_
N h::j::h::j O

IV)

    L        K
     cccccccc
                 
               
  --------------u
I                J   
 ^c?{i{j*=^c?{k{l*
<F+>

Quais destes quadrilteros so: 
 a) trapzios? 
 b) paralelogramos? 
 c) losangos? 
<p>
 d) retngulos? 
 e) quadrados? 

46. Utilizando um transferidor, mea os ngulos 
internos dos quadrilteros _`[no adaptados].
 a) Qual a soma dos ngulos internos de 
cada quadriltero? 
 b) Ao observar os resultados obtidos no 
item *a*, o que voc pde perceber? 

47. Observe as bandeiras _`[no adaptadas_`] de alguns pases. 
 a) Quais destas bandeiras so formadas 
apenas por: 
 polgonos? 
 quadrilteros? 
 b) Voc conhece outros pases cujas bandeiras 
so formadas apenas por quadrilteros? 
Cite alguns deles. 
<R->

<175> 
<R+>
48. Os raios das circunferncias a seguir tm 
a mesma medida. 
 a) Escreva qual o centro da circunferncia 
que: 
<p>
  no cruza a circunferncia de centro O
  cruza a circunferncia de centro O 
em um nico ponto 
  cruza a circunferncia de centro O 
em dois pontos 
 b) Entre os segmentos {o{a, {o{b e {o{c, qual 
 o maior? E o menor? 

49. Na figura est apresentada uma circunferncia 
de centro O e 2 cm de raio. 
 Em relao ao centro O da circunferncia, 
quais pontos distam: 
 a) 2 cm?
 b) menos de 2 cm?
 c) mais de 2 cm?

Testes 

Anote as respostas 
no caderno. 

_`[{para as atividades de 50 a 54 pea orientao ao professor_`]

50. (SARESP - SP) Um artista plstico est 
construindo um painel com ladrilhos decorados. 
Ele fez um esquema desse painel 
mostrado na figura _`[no adaptada_`] e utilizou as formas 
de: 
 a) quadrados e hexgonos 
 b) tringulos e quadrados 
 c) tringulos e pentgonos 
 d) tringulos e hexgonos 

51. O nmero de quadrados coloridos na prxima 
figura da sequncia _`[no adaptada_`] : 
 a) 15 
 b) 27 
 c) 12 
 d) 23 
 e) 20 
 
52. Quantos tringulos diferentes  possvel 
formar sendo seus vrtices trs dos pontos 
em destaque na circunferncia _`[no adaptada_`]? 
 a) 8 
 b) 14 
 c) 4 
 d) 2 

53. Sobre a figura _`[no adaptada_`]  correto afirmar 
que: 
 a)  um hexgono 
 b)  um polgono no convexo 
 c)  um polgono regular 
 d) no  polgono 

54. O nmero de tringulos que podem ser 
identificados na figura _`[no adaptada_`] : 
 a) 4 
 b) 5 
 c) 6 
 d) 7 
 e) 8 
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Quinta Parte